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la réunion ou à l’intersection de ces entrées, on obtient un tableau complet
des relations du réseau booléen à trois variables. On peut généraliser cette
méthode au /TP/n
Mais les /TP/n ne sont pas les seuls tableaux utilisés. Par ex. dans cet ouvrage : « le noodrome »,on rencontrera beaucoup de tableaux à double entrée permettant de comprendre l’analyse et la synthèse d’une structure conceptuelle dans un graphe unique Comme on dit un bon dessin vaut mieux qu’un long discours. Un tableau est au fond ce qui reste dans la tête lorsqu’on a fini de parler. Si les paroles s’envolent les écrits se multiplient, on est encombré de documents, de livres, d’archives. Le papier s’accumule, l’encre coule… Restent les graphiques, les figures les courbes. On pourrait dire que si un des buts de la science est de ramener le multiple à l’unité, le tableau scientifique représente cette réduction et ce déploiement. Cependant l’important dans la recherche scientifique est de découvrir les bonnes bases, les bonnes entrées qui définissent la structure et d’une certaine manière les lois du phénomène.
A l’imitation des géomètres, des physiciens, des chimistes, Piaget avec ses /TP/ booléens avait trouvé une structure, parmi bien d’autres, permettant l’expérimentation en psychologie génétique.
Variation des tableaux selon les bases
Piaget construit son /TP/3 sur la base X = 1234. On peut construire un /TP/ avec d’autres bases. On choisit une base pour des raisons précises. Ce choix permettra de mettre en valeur certaines propriétés de la structure du /TP/ considéré. Malgré la variation des bases, on trouvera aussi des invariants de structure. La base X de Piaget souligne certaines propriétés du réseau booléen.
Quelques propriétés :
Algébriques :
1/ chaque élément de la ligne supérieure, laquelle, l’entrée « alpha »,est le produit, la conjonction des éléments de sa colonne. 2/ chaque élément de la ligne inférieure est la somme, la disjonction, des éléments de sa ligne. 3/ chaque élément de la colonne de gauche est le produit des éléments de sa ligne. 4/ chaque élément de la colonne de droite est la somme des éléments de sa ligne.
Topologiques : (cf :ch.5)
5/ tous les éléments de la ligne supérieure, dans l’ordre, sont symétriques, par rapport à la diagonale principale (\) du /TP/, de chacun des éléments de la colonne de gauche ;et réciproquement. 6/ tous les éléments de la ligne supérieure, dans l’ordre, sont symétriques, par rapport à la diagonale secondaire (/) du /TP/, de chacun des éléments de la colonne de droite. On retrouve les mêmes propriétés inversées pour les valeurs négatives de la ligne inférieure. Si l’on change de base ex :1467 = [x = (y = z)], notée E+ , la distribution topologique change mais toutes les propriétés indiquées demeurent invariantes, comme on pourra le vérifier en exercice. Cette variation topologique ne pourra être étudiée utilement qu’en appliquant les opérateurs d’homologie (ch.3)et de transformation (ch.4). Ainsi on verra que les symétries régionales relatives à des centres de symétrie secondaires opérées par les « octocines » valent en base X et non en base 1467.
Valence et zone
On définit la valence le plus petit nombre de 1 (resp.0) dans la suite d’évaluation de l’expression logique. L’élément numérique 123 qui, on l’a vu, représente littéralement après réduction : x & ( y V z) est de valence 3, car sa suite d’évaluation est : 11100000 ; il y a trois 1 et cinq 0.
Autre exemple :l’élément opposé contradictoire (123) ou non 123 qui représente :-x V(-y&-z) est de valence 3 car sa suite étant 00011111 comporte trois 0 et cinq 1. Or les zones d’un tableau sont identifiées par les valences de leurs éléments. Partons de l’ exemple d’un /TP/2 :
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